题目内容

已知函数常数)满足.
(1)求出的值,并就常数的不同取值讨论函数奇偶性;
(2)若在区间上单调递减,求的最小值;
(3)在(2)的条件下,当取最小值时,证明:恰有一个零点且存在递增的正整数数列,使得成立.

(1)时是偶函数,时,非奇非偶函数;(2);(3)证明见解析.

解析试题分析:(1)直接代入已知可求得,根据奇偶函数的定义可说明函数是奇(偶)函数,如果要说明它不是奇(偶)函数,可举例说明,即;(2)据题意,即当时,总有成立,变形整理可得,由于分母,故,即,注意到,从而,因此有;(3)在(2)的条件下,,理论上讲应用求出零点,由函数表达式可看出,当时,无零点,当时,函数是递增函数,如有零点,只有一个,解方程,即,根据零点存在定理确定出,这个三次方程具体的解求不出,但可变形为,想到无穷递缩等比数列的和,有,因此可取.证毕.
(1)由,解得.
从而,定义域为
时,对于定义域内的任意,有为偶函数  2分
时,从而不是奇函数;不是偶函数,非奇非偶.      4分
(2)对于任意的,总有恒成立,即,得.    6分
,从而.
,∴的最小值等于.      10分
(3)在(2)的条件下,.
时,恒成立,函数无零点.    12分
时,对于任意的,恒有
,所以函数上递增,又
是有一个零点.
综上

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