Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x为有理数\\ 0，x为无理数\end{array}$，给出下列命题：
①函数f（x）为偶函数；
②函数f（x）是周期函数； 
③存在x_i（i=1，2，3），使得（x_i，f（x_i））为顶点的三角形是等边三角形；
④存在x_i（i=1，2，3），使得（x_i，f（x_i））为顶点的三角形是等腰直角三角形．
其中的真命题是①②③（填上你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

分析 ①由偶函数的定义进行判断．
②由周期函数的定义证明
③④由解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；

解答 解：①若x为有理数，则-x也为有理数，∴f（x）=f（-x）=1，
若x为无理数，则-x也为无理数，∴f（x）=f（-x）=0，
综上有f（x）=f（-x），∴函数f（x）为偶函数，∴①正确．
②当T=3，则当x为有有理数时，x+3也为有理数，则f（x+3）=f（x）；
则当x为有无理数时，x+3也为无理数，则f（x+3）=f（x）；
故T为函数的周期，即f（x）是周期函数，3是它的一个周期，故②正确；
③设三个点（x₁，0）（x2，1）（x₃，0）且x₁+x₃=2x₂，x₃-x₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，易满足，故③正确．
④根据f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x为有理数\\ 0，x为无理数\end{array}$，可知：
假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，
不妨假设A，B在x轴上，故斜边AB=2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在．
另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，
故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，④错误；
故答案为：①②③

点评 本题主要考查了特殊函数的性质的理解，属于中档题，高考以新定义题目出现．