题目内容

【题目】如图，已知抛物线，为的焦点，为准线，且与轴的交点为.过点任意作一条直线交抛物线于两点.

（1）若 ,求证：;

（2）设为线段的中点，为奇质数，且点到轴的距离和点到准线的距离均为非零整数.求证：点到坐标原点的距离不可能是整数.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）点的坐标为，设过点的直线方程为.代入，得 ①

设，则、是方程①的两个根，有，.

由，得.

因为

又 ，，，所以

.

故.

（2）设.依题意均为非零整数.

由对称性，不妨设，则. ②

因为点在线段上，所以

. ③

由式②、③消去，得

④

假设为正整数，则

⑤

因为为奇质数，由式④知，，从而.

于是，由式⑤知.

令，， ，则

.

消去，得，即

.

又与有相同的奇偶性，且，所以，

解得，.

从而，.于是，，这与为正整数矛盾.

故点到坐标原点的距离不可能是整数.

练习册系列答案
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鲜花店名称

A

B

C

D

E

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3

5

6

7

9

利润额y（千元）

2

3

3

4

5

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轿车

轿车

轿车

舒适型

100

150

标准型

300

450

600

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