题目内容
【题目】如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.点E、F分别在边CD、CB上,点E与点C、D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.
(1)求证:BD⊥平面POA;
(2)设点Q满足 ,试探究:当PB取得最小值时,直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于 ?并说明理由.
【答案】
(1)证明:∵菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC,∴BD⊥AO,
∵EF⊥AC,∴PO⊥EF.
∵平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,且PO平面PEF,
∴PO⊥平面ABFED,
∵BD平面ABFED,∴PO⊥BD.
∵AO∩PO=O,∴BD⊥平面POA
(2)解:如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O﹣xyz.
设AO∩BD=H.因为∠DAB=60°,所以△BDC为等边三角形,
故BD=4, .
又设PO=x,则 , ,
所以O(0,0,0),P(0,0,x), , ,
故 ,
所以 ,
当 时, .此时
设点Q的坐标为(a,0,c),由(1)知, ,则 , , , .
∴ , ,
∵ ,∴ .
∴ ,∴ .
设平面PBD的法向量为 ,则 .
∵ , ,∴
取x=1,解得:y=0,z=1,所以 .
设直线OQ与平面E所成的角θ,
∴ = .
又∵λ>0∴ .∵ ,∴ .
因此直线OQ与平面E所成的角大于 ,即结论成立.
【解析】(1)利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO,证明PO⊥平面ABFED,可得PO⊥BD,利用线面垂直的判定,可得 BD⊥平面POA;(2)建立空间直角坐标系O﹣xyz,设PO=x,求出 时, ,此时 ,进一步求点Q的坐标,求出平面PBD的法向量 ,利用向量的夹角公式,可证直线OQ与平面E所成的角大于 .
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想,以及对空间角的异面直线所成的角的理解,了解已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.