Question

已知函数,其中为正实数,.
(I)若是的一个极值点,求的值;
(II)求的单调区间.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）由为函数的一个极值点，得到便可求出的值，但在求得答案后注意处附近左、右两侧导数符号相反，即成为极值点的必要性；（Ⅱ）求含参函数的单调区间的求解，一般要对导数方程在函数的定义域内是否有根以及有根时根的大小进行分类讨论，并结合导数值的正负来确定函数的单调区间.
试题解析：解:.
(I)因为是函数的一个极值点,
所以，因此,解得.
经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为.
4分
(II)
令得 ①
(i)当,即时,方程①两根为
.
此时与的变化情况如下表:

		0	—	0
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以当时,的单调递增区间为,; 的单调递减区间为.
(ii)当时,即时,,
即,此时在上单调递增.
所以当时,的单调递增区间为.
13分