Question

【题目】已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为,上顶点为, 若成等比数列，椭圆上的点到焦点的最短距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用已知条件，算出，再由，求出，写出椭圆方程；（2）得,设,直线的方程为,联立直线的方程与椭圆的方程, 消去,根据韦达定理,求出的表达式,利用基本不等式求出最小值．

试题解析：解：（1）易知，， ①

而 ②

又，得，

故椭圆的标准方程为

（2）由（1）知，∵，故，设，

∴，直线的斜率为，

当时，直线的斜率为，直线的方程为；

当时，直线的方程为，也符合方程．

设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得消去，得：，，，

当且仅当，即时，等号成立．

∴的最小值为．