题目内容
【题目】如图,空间几何体中,
是边长为2的等边三角形,
,
,
,平面
平面
,且平面
平面
,
为
中点.
(1)证明:平面
;
(2)求二面角平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)分别取,
的中点
,
,连接
,
,
,
,
,要证明
平面
,只需证明面
∥面
即可.
(2)以点为原点,以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴,建立空间直角坐标系,
分别计算面的法向量
,面
的法向量可取
,并判断二面角为锐角,再利用
计算即可.
(1)证明:分别取,
的中点
,
,连接
,
,
,
,
.
由平面平面
,且交于
,
平面
,
有
平面
,
由平面平面
,且交于
,
平面
,
有
平面
,所以
∥
,又
平面
,
平面
,所以
∥平面
,由
,
有,
∥
,又
平面
,
平面
,所以
∥平面
,
由∥平面
,
∥平面
,
,所以平面
∥平面
,所以
∥平面
(2)以点为原点,以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
由面
,所以面
的法向量可取
,
点,点
,点
,
,
,
设面的法向量
,所以
,取
,
二面角的平面角为
,则
为锐角.
所以
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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