题目内容
【题目】已知函数为定义在
上的偶函数,当
时,
.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数有两个零点:求实数
的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间为
,
,单调递增区间为
;(2)
或
【解析】
根据题意求出函数
在
上的单调区间,再利用偶函数在对称区间上单调性相反求出函数
在区间
上的单调区间即可;
由函数
为定义在
上的偶函数,只需方程
在
上有一个根即可,分三种情况
,
,
分别求出
时,函数
的解析式,利用函数的单调性求出其值域,进而求出实数
的取值范围即可.
(1)由题意可得,当,
时,
,
令,即
,解得
,
当时,
,所以
,
因为函数 在
上单调递减,
所以函数在
上单调递减;
当时,
,所以
,
因为函数 在
上单调递减,
所以函数在
上单调递增,
所以函数在
上单调递增;
因为函数为定义在
上的偶函数,
由偶函数在对称区间上单调性相反可得,
函数在
上单调递增,在
上单调递减,
故函数单调递减区间为
,
,单调递增区间为
.
(2)由题可得,函数有两个零点,
即方程有两个不同根,
因为为定义在
上的偶函数,其图象关于
轴对称,
故方程在
上有一个根即可.
当时,则
,因为
,
所以当时,
,
所以在
上有一个根,
由于在
上单调递减,
,
所以,即
,
故实数的取值范围为
;
当时,令
,解得
,
因为函数为
上的减函数,
所以当时,
,
所以函数为
上的减函数,
所以,
当时,
,
所以函数为
上的增函数,
所以,
要使方程在
上有一个根,
只需或
,解得
或
,
故实数的取值范围为
或
;
当,
时,因为
,所以
,
所以函数,
因为函数在
上单调递减,
所以函数在
上单调递增,
因为,所以
,
即,
故只需,即
,
故实数的取值范围为
.
综上可得,实数的取值范围为
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
(1)为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如图的频率分布直方图:
现从年龄在内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记4人中年龄在
内的人数为
,求
;
(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量
(单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表:
劳动节当日客流量 | |||
频数(年) | 2 | 4 | 4 |
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用,但每年劳动节当日
型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量
(单位:万人)的影响,其关联关系如下表:
劳动节当日客流量 | |||
| 1 | 2 | 3 |
若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘
型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记
(单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,
的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘
型游船才能使其当日获得的总利润最大?