题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx+x2﹣ax(a∈R)
(1)a=3时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤2x2恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求证;lnn> +
+1
+…+
(n∈N+)且n≥2.
【答案】
(1)解:a=3时,f(x)=lnx+x2﹣3x,(x>0),
f′(x)= +2x﹣3=
,
△=32﹣8=1>0,由f′(x)=0,解得x1= ,x2=1,
当x∈(0, )∪(1,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(
)时,f′(x)<0,
则函数f(x)在(0, ),(1,+∞)上单调递增,在(
,1)上单调递减
(2)解:f(x)≤2x2,化为:lnx﹣x2﹣ax≤0,
∴a≥ ﹣x,令g(x)=
,
g′(x)= ,
令h(x)=1﹣lnx﹣x2,可知:函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.
而h(1)=0=g′(1).
∴x>1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;
0<x<1时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
∴函数g(x)在x=1时取得极大值即最大值,g(1)=﹣1.
∴实数a的取值范围是a≥﹣1
(3)证明:令t(x)=lnx﹣ ,
则t′(x)= >0,
∴t(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x>1时,t(x)>t(1),即lnx﹣ >0,∴lnx>
,
令x=1+ ,则ln(1+
)>
,
故ln(1+1)> ,ln(1+
)>
,…,ln(1+
)>
.
累加得:ln(n+1)> ,
取n=n﹣1,得lnn> (n≥2)
【解析】(1)把a=3代入函数解析式,求导后求得导函数零点,由导函数零点对定义域分段,求出各区间段内导函数的符号,从而求得原函数的单调区间;(2)把f(x)≤2x2化为:lnx﹣x2﹣ax≤0,得到a≥ ﹣x,令g(x)=
,利用导数求其最大值可得实数a的取值范围;(3)令t(x)=lnx﹣
,由导数可得t(x)在(0,+∞)上单调递增,得到x>1时,lnx>
,令x=1+
,可得ln(1+
)>
,累加可得ln(n+1)>
,取n=n﹣1得答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评,某校高二年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频率统计表如表: 表一:男生测评结果统计
等级 | 优秀 | 合格 | 尚待改进 |
频数 | 15 | x | 5 |
表二:女生测评结果统计
等级 | 优秀 | 合格 | 尚待改进 |
频数 | 15 | 3 | y |
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
(参考公式: ,其中n=a+b+c+d).
(1)计算x,y的值;
(2)由表一表二中统计数据完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生 | 女生 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 |