Question

【题目】如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2 ，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面体PEFC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，

∵F为PD的中点，E为AB的中点，

∴FG CD，AE CD

∴FG AE，∴AF∥GE

∵GE平面PEC，

∴AF∥平面PCE

（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AF平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，

∴GE⊥平面PCD，

∵GE平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD

（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，

所以EG为四面体PEFC的高，

又GF∥CD，所以GF⊥PD，

EG=AF= ，GF= CD= ，

S△PCF= PDGF=2．

得四面体PEFC的体积V= S△PCFEG=

【解析】（1）设G为PC的中点，连接FG，EG，根据中位线定理得到FG CD，AE CD，进而可得到AF∥GE，再由线面平行的判定定理可证明AF∥平面PCE，得证．（2）根据PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由线面垂直的性质定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD结合线面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同样得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得证．（3）先由（2）可得知EG为四面体PEFC的高，进而求出S△PCF ， 根据棱锥的体积公式可得到答案．
【考点精析】本题主要考查了棱锥的结构特征和直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．