已知△ABC中.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=λ(\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|}})$.则三角形的形状一定是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

20．已知△ABC中，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|}}）$，则三角形的形状一定是（　　）

A．

等腰三角形

B．

等边三角形

C．

直角三角形

D．

等腰直角三角形

分析由向量的性质可得△ABC的BC边上的中线与∠BAC的平分线重合，由等腰三角形的性质可作出判断．

解答解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$和$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$均为单位向量，
∴λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）与∠BAC的平分线平行，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$与∠BAC的平分线平行，
又∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$与BC边上的中线重合，
∴△ABC的BC边上的中线与∠BAC的平分线重合，
∴△ABC为等腰三角形，
故选：A．

点评本题考查三角形性质的判断，熟练掌握向量的性质是解决问题的关键，属基础题．

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