题目内容
【题目】已知二次函数对一切实数
,都有
成立,且
,
,
.
(1)求的解析式;
(2)记函数在
上的最大值为
,最小值为
,若
,当
时,求
的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由题意可得出二次函数的对称轴为直线
,结合
可得出该二次函数的顶点坐标为
,可设
,再由
求出实数
的值,由此可得出函数
的解析式;
(2)求出函数的解析式
,分析该二次函数图象的对称轴与区间
的位置关系,分析函数
在区间
上的单调性,求出
和
,然后解不等式
,求出实数
的取值范围,即可得出实数
的最大值.
(1)对一切实数,都有
成立,则二次函数
的对称轴为直线
,又
,则二次函数
图象的顶点坐标为
,
设,则
,因此,
;
(2),对称轴为直线
,
,则
.
当时,即当
时,函数
在区间
上单调递增,
则,
,则
,得
,此时
;
当时,即当
时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以,
,
,
,且
,
,
则,整理得
,解得
,此时,
.
因此,,则实数
的最大值为
.
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