Question

【题目】如图所示，某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场（ABCDEF围成的封闭区域）用来养殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（单位：百米），DEF是一段曲线形马路.该牧场的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，该区域用来养殖羊，其余区域养殖牛，且MP=PQ，牧场大门位于马路DEF上的M处，一个观察点P位于AB的中点处，为了能够更好观察动物的生活情况，现决定修建一条观察通道，起点位于距离观察点P处1百米的O点所示位置，终点位于Q处.如图2所示，建立平面直角坐标系，若满足.

（1）求的解析式；

（2）求观察通道OQ长度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）百米

【解析】

（1）依题意求出点，，，代入解析式即可求解；

（2）过点M，Q分别作x轴的垂线，垂足为，，可得，

再对分类讨论，利用导数及二次函数的性质求出最小值；

解：（1）因为AB=10，P是AB的中点，所以AP=5，

又OP=1，所以AO=4，所以，，

因为CD=7，BC=4，AF=1所以，

由得，k=-4，所以.

故，又，所以解得，

所以

（2）过点M，Q分别作x轴的垂线，垂足为，，

则，

又因为PM⊥PQ，所以

所以，又因为PM=PQ，所以，

所以，由，可得，

①若，设，则，

.

令，则

，因为，所以

所以在上单调减，所以

设，则在上单调减

所以，所以

②若，设，则，

，

在上单调递减，所以时，，

所以OQ的长度的最小值为百米.

答：观察通道OQ的长度的最小值为百米