题目内容
【题目】设点为圆
上的动点,点
在
轴上的投影为
,动点
满足
,动点
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)设与
轴正半轴的交点为
,过点
的直线
的斜率为
,
与
交于另一点为
.若以点
为圆心,以线段
长为半径的圆与
有4个公共点,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)利用相关点法求出的方程;(2)由
得
,设
,
,
,则点
的轨迹方程为
,
由,得
,(
)(*)依题意得,(*)式关于
的方程在
有两个不同的实数解,利用二次函数有关知识即可求出
的取值范围.
试题解析:
(1)设点,
,则
,
因为,所以
,所以
,解得
,
由于点在圆
上,所以
,
所以点的轨迹
的方程为
.
(2)由(1)知,的方程为
,因为直线
.
由得
,
设,
,因此
,
,
,
则点的轨迹方程为
,
由,得
,(
)(*)
依题意得,(*)式关于的方程在
有两个不同的实数解,
设,
因为函数的对称轴为
,
要使函数的图象在
与
轴有两个不同的交点,
则,
整理得:,即
,
所以.
解得,
所以的取值范围为
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