题目内容
12.已知二次函数f(x)满足f(0)=f(2),f(1)=-3,且f(x)的图象与x轴的一个交点为(2,0).(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为h(a),求h(a)的解析式.
分析 (1)由已知函数图象的顶点为(1,-3),将(2,0)代入,可得函数f(x)的解析式;
(2)结合(1)中函数的解析式,分类讨论区间[a,a+2]与对称轴的位置关系,可得最小值为h(a)的解析式.
解答 解:(1)∵f(0)=f(2),f(1)=-3,
故函数图象的顶点为(1,-3)
设f(x)=a(x-1)2-3,
又∵f(x)的图象与x轴的一个交点为(2,0).
∴a-3=0,
解得:a=3,
故f(x)=3(x-1)2-3=3x2-6x;
(2)函数f(x)=3x2-6x的图象是开口朝上,且以直线x=1为对称轴的抛物线,
若a+2<1,即a<-1,则x=a+2时,函数f(x)取最小值为,此时h(a)=f(a+2)=3a2+6a,
若a≤1≤a+2,即-1≤a≤1,则x=1时,函数f(x)取最小值为,此时h(a)=f(1)=-3,
若a>1,则x=a时,函数f(x)取最小值为,此时h(a)=f(a)=3a2-6a,
综上所述:h(a)=$\left\{\begin{array}{l}3{a}^{2}+6a,a<-1\\-3,-1≤a≤1\\ 3{a}^{2}-6a,a>1\end{array}\right.$
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.
练习册系列答案
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