题目内容

(本小题满分13分)已知函数
(Ⅰ)设(其中的导函数),求的最大值;
(Ⅱ)求证: 当时,有
(Ⅲ)设,当时,不等式恒成立,求的最大值.
(Ⅰ)当时,取得最大值
(Ⅱ)当时,.由(1)知:当时,,即
因此,有
(Ⅲ)整数的最大值是

试题分析:(Ⅰ),所以
时,;当时,
因此,上单调递增,在上单调递减.
因此,当时,取得最大值;           ………………3分
(Ⅱ)当时,.由(1)知:当时,,即
因此,有.………………7分
(Ⅲ)不等式化为所以
对任意恒成立.令,则
,则,所以函数上单调递增.
因为
所以方程上存在唯一实根,且满足
,即,当,即
所以函数上单调递减,在上单调递增.
所以
所以.故整数的最大值是.     ……………13分
点评:较难题,利用导数求函数单调区间的方法,解题时注意函数的定义域,避免出错。
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