Question

（本小题满分14分）
各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有。
（1）当时，求通项；
（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有。

Answer 1

（1）
（2）证明见解析。

（1）由得
，将代入化简得
。
所以，
故数列为等比数列，从而
，即。
可验证，满足题设条件。
（2）由题设的值仅与有关，记为则
。
考察函数,则在定义域上有

故对，恒成立。
又，
注意到，解上式得
，
取，即有。