Question

（2006•嘉定区二模）用S_m→n表示数列{a_n}从第m项到第n项（共n-m+1项）之和．
（1）在递增数列{a_n}中，a_n与a_n+1是关于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n为正整数）的两个根．求{a_n}的通项公式并证明{a_n}是等差数列；
（2）对（1）中的数列{a_n}，判断数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的类型；
（3）对一般的首项为a₁，公差为d的等差数列，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1，利用{a_n}是递增数列，可得a_n+1-a_n=2，从而可{a_n}的通项公式并证明{a_n}是等差数列；
（2）在理解S_m→n的含义的基础上，可求得S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常数），从而可判断数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的类型（是等差数列）；
（3）“对于任意给定的正整数m，判断数列S_1→m，S_m+1→2m，…，S_{（k-1）m+1→km}成等差数列”，再证明即可．

解答：解：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1…（1分）
∵{a_n}是递增数列，
∴a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，a_n+1-a_n=2…（3分）
∴数列{a_n}是等差数列，其通项公式是a_n=2n-1（n为正整数）…（4分）
（2）当k为正整数时，S_3k-2→3k=a_3k-2+a_3k-1+a_3k=18k-9
S_{3（k+1）-2→3（k+1）}=18（k+1）-9=18k+9，
∴S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常数）
∴数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k是等差数列…（9分）
（3）对一般的以a₁为首项，d为公差的等差数列，“对于任意给定的正整数m，数列S_1→m，S_m+1→2m，…，S_{（k-1）m+1→km}成等差数列”，（13分），
证明：∵S_{km+1→（k+1）m}-S_{（k-1）m+1→km}成=（a_km+1+a_km+2+…+a_km+m）-（a_（k-1）m+1+a_（k-1）m+2+…+a_（k-1）m+m）
=[（a_km+1-a_（k-1）m+1）+（a_km+2-a_（k-1）m+2）+…+（a_km+m-a_（k-1）m+m）]
=

md+md+…+md

m项

=m²d（定值）．
∴数列S_1→m，S_m+1→2m，…，S_{（k-1）m+1→km}成等差数列…（16分）

点评：本题考查等差关系的确定，考查等差数列的性质，考查抽象思维与逻辑思维及综合运算能力，考查推理与证明的能力，属于难题．