Question

1．求函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$的值域．

Answer 1

分析 法一：求导数y′=$\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}•\sqrt{5-x}}$，可判断函数$\sqrt{5-x}-\sqrt{x}$在[0，5]上单调递减，从而可判断导数的符号，从而得出$x=\frac{5}{2}$时，原函数取到最大值，x=0或x=5时，原函数取得最小值，这样即可得出原函数的值域，再一种方法是对原函数式两边平方，求y²的范围，再开方，从而得出原函数的值域．
法二：对函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$的等号两端平方后求得最值，再开方，

解答 解：法一：函数的定义域为[0，5]；
$y′=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}•\sqrt{5-x}}$；
函数y=$\sqrt{5-x}-\sqrt{x}$在[0，5]上为减函数，令$\sqrt{5-x}=\sqrt{x}$，则x=$\frac{5}{2}$；
∴$x∈[0，\frac{5}{2}）$时，y′＞0，x$∈（\frac{5}{2}，5]$时，y′＜0；
∴$x=\frac{5}{2}$时，原函数取得最大值$\sqrt{10}$；
又x=0时，y=$\sqrt{5}$，x=5时，y=$\sqrt{5}$；
∴原函数的值域为：$[\sqrt{5}，\sqrt{10}]$．
法二：${y}^{2}=（\sqrt{x}+\sqrt{5-x}）^{2}=5+2\sqrt{-{x}^{2}+5x}$；
$-{x}^{2}+5x=-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{25}{4}≤\frac{25}{4}$；
x=0，和5时，-x²+5x=0；
∴$0≤-{x}^{2}+5x≤\frac{25}{4}$；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}+5x}≤\frac{5}{2}$；
∴5≤y²≤10；
∴$\sqrt{5}≤y≤\sqrt{10}$；
∴原函数的值域为$[\sqrt{5}，\sqrt{10}]$．

点评 考查函数值域的概念，根据导数符号判断函数的单调性，以及根据导数求函数最值的方法，以及单调性定义的应用．