Question

16．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{5x-1}{4x+2}$，x∈[-3，-1]；
（2）y=2x+$\sqrt{1-2x}$；
（3）y=x+4+$\sqrt{9-{x}^{2}}$；
（4）y=$\frac{2{x}^{2}+4x-7}{{x}^{2}+2x+3}$；
（5）y=log₃x+log_x3-1；
（6）y=$\sqrt{（x+3）^{2}+16}$+$\sqrt{（x-5）^{2}+4}$．

Answer 1

分析 （1）原函数变成y=$\frac{5}{4}-\frac{7}{5（4x+2）}$，根据x的范围求出$\frac{1}{5（4x+2）}$的范围，从而得出原函数的值域；
（2）换元，令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，得到函数y=-t²+t+1求该二次函数在[0，+∞）上的值域即可；
（3）x+4移到等号左边，再平方便可整理成关于x的方程的形式，根据方程有解即可得出该函数的值域；
（4）将原函数变成$y=2-\frac{13}{{x}^{2}+2x+3}$，由x²+2x+3≥2即可得出该函数的值域；
（5）应用换底公式，原函数变成y=$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$，这样应用基本不等式即可得出该函数的值域；
（6）原函数可变成$y=\sqrt{[x-（-3）]^{2}+（0-4）^{2}}+\sqrt{（x-5）^{2}+（0-2）^{2}}$，这样可将y看成点（x，0）到点（-3，4）和（5，2）的距离的和，可画出图形，根据图形便可得出该函数的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{5x-1}{4x+2}=\frac{\frac{5}{4}（4x+2）-\frac{7}{2}}{4x+2}=\frac{5}{4}-\frac{7}{5（4x+2）}$；
-3≤x≤-1；
∴-10≤4x+2≤-2；
∴-50≤5（4x+2）≤-10；
∴$-\frac{1}{10}≤\frac{1}{5（4x+2）}≤-\frac{1}{50}$；
∴$\frac{139}{100}≤y≤\frac{39}{20}$；
∴原函数值域为$[\frac{139}{100}，\frac{39}{20}]$；
（2）令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，则2x=1-t²；
∴y=$-{t}^{2}+t+1=-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$；
∴原函数的值域为（-∞，$\frac{5}{4}$]；
（3）由原函数得：$y-x-4=\sqrt{9-{x}^{2}}$，两边平方并整理得：
2x²-2（y-4）x+y²-8y+7=0，可看成关于x的一元二次方程，在[-3，3]上有解；
∴△=4（y-4）²-8（y²-8y+7）≥0；
解得$4-3\sqrt{2}≤y≤4+3\sqrt{2}$；
∵-3≤x≤3，$\sqrt{9-{x}^{2}}≥0$；
∴1≤x+4≤7，$x+4+\sqrt{9-{x}^{2}}≥1$；
∴原函数的值域为：$[1，4+3\sqrt{2}]$；
（4）$y=\frac{2{x}^{2}+4x-7}{{x}^{2}+2x+3}=\frac{2（{x}^{2}+2x+3）-13}{{x}^{2}+2x+3}$=$2-\frac{13}{{x}^{2}+2x+3}$；
x²+2x+3=（x+1）²+2≥2；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}≤\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{9}{2}≤y＜2$；
∴原函数的值域为$[-\frac{9}{2}，2）$；
（5）$y=lo{g}_{3}x+lo{g}_{x}3-1=lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$；
①若log₃x＞0，则$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}≥2$，当$lo{g}_{3}x=\frac{1}{lo{g}_{3}x}$，即x=3时取“=”；
∴y≥1；
②若log₃x＜0，则$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}=-（-lo{g}_{3}x+\frac{1}{-lo{g}_{3}x}）≤-2$，$x=\frac{1}{3}$时取“=”；
∴y≤-3；
综上得原函数的值域为：（-∞，-3]∪[1，+∞）；
（6）$y=\sqrt{（x+3）^{2}+16}+\sqrt{（x-5）^{2}+4}$=$\sqrt{[x-（-3）]^{2}+（0-4）^{2}}$$+\sqrt{（x-5）^{2}+（0-2）^{2}}$；
∴y表示点（x，0）到点（-3，4）和点（5，2）的距离的和，如下图所示：设P（x，0），A（-3，4），B（5，2）；

作B关于x轴的对称点C（5，-2），则：
$|AC|=\sqrt{64+36}=10$是|PA|+|PB|的最小值，即y的最小值，并可以到无穷大；
∴原函数的值域为[10，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，分离常数、换元，及利用基本不等式求函数值域的方法，以及将函数变成关于x的一元二次方程，根据方程有解，及利用几何的方法求函数的值域，配方法求二次函数的值域，不等式的性质，两点间的距离公式．