Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解．
（2）由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$$≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间．
（3）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$$≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间为：[k$π+\frac{π}{3}$，k$π+\frac{5π}{6}$]k∈Z．
（3）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-2．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．