Question

【题目】已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，若对于任意的x，y∈[﹣1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，

令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），

∴f（0）=0

（2）解：令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

又x∈[﹣1，1]，其定义域关于原点对称，

∴f（x）是奇函数

（3）解：设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0．

∵x＞0时，有f（x）＞0，∴f（x2﹣x1）＞0，

又∵f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1），

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数

【解析】（1）根据题意，用特殊值法，令x=y=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），计算可得答案；（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=﹣x，可得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），进而由（1）的结论，可得f（﹣x）=﹣f（x），考虑f（x）的定义域，可得答案；（3）设x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 结合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1），又由题意，x＞0时，有f（x）＞0，可得f（x2）＞f（x1），即可得证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．