题目内容
在数列{an}中,a1=1,
=
+
.
(1)设bn=
,求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.



(1)设bn=

(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1) bn=2-
(2) n(n+1)+
-4


(1)由
=
+
可知bn+1=bn+
,然后可利用叠加法求bn.
(2)再利用bn=
可求出
,然后再利用分组求和和错位相减法求和即可.
解:(1)由已知得b1=a1=1且
=
+
,
即bn+1=bn+
,
从而b2=b1+
,
b3=b2+
,
…
bn=bn-1+
( n≥2),
于是bn=b1+
+
+…+
,
=2-
( n≥2), ………………4分
又b1=1, ………………5分
∴{bn}的通项公式bn=2-
.………………6分
(2)由(1)知an=n·bn=2n-
, ………………7分
令Tn=
+
+
+…+
,
则2Tn=2+
+
+…+
, ………………8分
作差得:
Tn=2+(
+
+…+
)-
=4-
, ………………10分
∴Sn=(2+4+6+…+2n)-Tn
=n(n+1)+
-4. ………………12分
说明:各题如有其它解法可参照给分.




(2)再利用bn=


解:(1)由已知得b1=a1=1且



即bn+1=bn+

从而b2=b1+

b3=b2+

…
bn=bn-1+

于是bn=b1+



=2-

又b1=1, ………………5分
∴{bn}的通项公式bn=2-

(2)由(1)知an=n·bn=2n-

令Tn=




则2Tn=2+



作差得:
Tn=2+(





∴Sn=(2+4+6+…+2n)-Tn
=n(n+1)+

说明:各题如有其它解法可参照给分.

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