Question

12．已知函数f（x）=4x²-1，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为（　　）

• A． $\frac{2014}{2015}$
• B． $\frac{2013}{2015}$
• C． $\frac{4030}{4031}$
• D． $\frac{2015}{4031}$

Answer 1

分析 由f（x）=4x²-1得到$\frac{1}{f（n）}$，然后利用裂项相消法求得S₂₀₁₅的值．

解答 解：由f（x）=4x²-1，得$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+\frac{1}{2}（\frac{1}{4029}-\frac{1}{4031}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4031}）=\frac{2015}{4031}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．