题目内容
17.已知数列{an}的递推公式为$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}&{\;}\\{{a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}}&{n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$那么数列{an}的通项公式为an=$\frac{1}{2n-1}$.分析 通过对an+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$两边同时取倒数,进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列,计算即得结论.
解答 解:依题意,$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$,
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2(n-1)=2n-1,
∴an=$\frac{1}{2n-1}$,
又∵a1=1满足上式,
∴数列{an}的通项公式an=$\frac{1}{2n-1}$,
故答案为:an=$\frac{1}{2n-1}$.
点评 本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{2014}{2015}$ | B. | $\frac{2013}{2015}$ | C. | $\frac{4030}{4031}$ | D. | $\frac{2015}{4031}$ |