Question

4．设a，b是两个不相等的正数，A=$\frac{a+b}{2}$，G=$\sqrt{ab}$，H=$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$，Q=$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$，试比较A，G，H，Q的大小并给出证明过程．

Answer 1

分析 由基本不等式可得A＞G；H＜G；平方作差可证A＜Q，综合可得．

解答 解：由基本不等式可得$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，ab不相等，故取不到等号，故$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$，即A＞G；
再由基本不等式可得H=$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{1}{ab}}}$=$\sqrt{ab}$=G，再由ab不相等可得H＜G；
又A²-Q²=$\frac{（a+b）^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=-$\frac{（a-b）^{2}}{4}$＜0，∴A＜Q，
综上可得Q＞A＞G＞H

点评 本题考查不等式比较大小，涉及基本不等式，属基础题．