题目内容
已知四棱锥中,是正方形,E是的中点,
(1)若,求 PC与面AC所成的角
(2) 求证:平面
(3) 求证:平面PBC⊥平面PCD
(1) (2)先证明EO∥PC (3)先证明BC^平面PAB
解析试题分析:本题第(1)问,关键是找出PC与面AC所成的角,由于,则;第二问,关键是证明EO∥PC,由于EO是三角形PAC的中位线,则EO∥PC,结合直线与平面平行的判定定理,只要在说明PC平面EBD,EO平面EBD,就可以下结论PC∥平面EBD;第(3)问,先证明PD^BC和BC^CD,则BC^平面PAB,又因为BC平面PBC,所以就有平面PBC^平面PCD。
解:平面,是直线在平面上的射影,是直线和平面所成的角。又,四边形是正方形,,;直线和平面所成的角为
(2)连接AC交BD与O,连接EO, ∵E、O分别为PA、AC的中点
∴EO∥PC ∵PC平面EBD,EO平面EBD ∴PC∥平面EBD
(3)∵PD^平面ABCD, BC平面ABCD,∴PD^BC,
∵ABCD为正方形 ∴ BC^CD,
∵PD∩CD="D," PD,CD平面PCD
∴BC^平面PCD
又∵ BC平面PBC,∴平面PBC^平面PCD
考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
点评:本题考查直线和平面平行和垂直关系的判定,直线和平面所成角的计算.考查考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力。
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