题目内容
已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(1)求异面直线与
所成角的余弦值;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求此几何体的体积的大小
(1)异面直线与
所成的角的余弦值为
.
(2)二面角的的正弦值为
.
(3)几何体的体积为16.
解析试题分析:(1)先确定几何体中的棱长, ,通过取
的中点
,连结
,
则,∴
或其补角即为异面直线
与
所成的角. 在
中即可解得
的余弦值.
(2) 因为二面角的棱为
,可通过三垂线法找二面角,由已知
平面
,过
作
交
于
,连
.可得
平面
,从而
,∴
为二面角
的平面角. 在
中可解得
角的正弦值.
(3)该几何体是以为顶点,
为高的,
为底的四棱锥,所以
此外也可以以为原点,以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系来解答.
试题解析:(1)取的中点是
,连结
,
则,∴
或其补角即为异面直线
与
所成的角.
在中,
,
.∴
.
∴异面直线与
所成的角的余弦值为
.
(2)因为平面
,过
作
交
于
,连
.
可得平面
,从而
,
∴为二面角
的平面角.
在中,
,
,
,
∴.∴
.
∴二面角的的正弦值为
.
(3),∴几何体的体积为16.
方法2:(1)以为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4),
,∴
,
∴异面直线与
所成的角的余弦值为
.
(2)平面
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