Question

【题目】近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平．某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.

（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？

（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？

Answer 1

【答案】（1）引进生产线10年后总盈利最大为204万元（2）引进生产线7年后平均盈利最多为24万元

【解析】

（1）设引进设备n年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为，构成一等差数列，由等差数列前公式求得第年总成本，这样可得总盈利，由二次函数性质可得最大值；

（2）平均盈利为，可用基本不等式求得最大值．

解：（1）设引进设备n年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为，构成一等差数列，前n年成本之和为万元；

故，，

所以当时，万元；

答：引进生产线10年后总盈利最大为204万元

（2）设n年后平均盈利为万元，则，

因为，

当，，当且仅当取得等号，

故时，万元：

答：引进生产线7年后平均盈利最多为24万元