Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y2=4x（Ⅱ）T到y轴的距离的最小值为3，此时直线的方程为x±y-1=0.

【解析】

（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；

（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．

（Ⅰ）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，

可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，

由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，

由|AF|=1+=2，即p=2，

可得抛物线方程为y2=4x；

（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，

△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，

|AB|==8，

可得n=-m2，

=2m，==2m2+n=+m2

=+m2+1-1≥2-1=3，

当且仅当=m2+1，即m2=1，即m=±1，

T到y轴的距离的最小值为3，

此时n=1，直线的方程为x±y-1=0..