题目内容
【题目】已知数列满足
,
(
).
(Ⅰ)证明数列为等差数列,并求
的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前
项和为
,若数列
满足
,且
对任意的
恒成立,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析,;(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)通过对(n+1)an+1﹣(n+2)an=2变形、裂项可知﹣
=2(
﹣
),进而利用累加法、并项相加,计算即得结论;
(Ⅱ)通过(I)可知bn=n,通过令f(x)=x
,求导可知函数f(x)先增后减,进而计算可得结论.
∵(n+1)an+1﹣(n+2)an=2,
∴﹣
=
=2(
﹣
),
又∵=1,
∴当n≥2时,=
+(
﹣
)+(
﹣
)+…+(
﹣
)
=1+2(﹣
+
﹣
+…+
﹣
)
=,
又∵=1满足上式,
∴=
,即an=2n,
∴数列{an}是首项、公差均为2的等差数列;
(Ⅱ)解:由(I)可知=
=n+1,
∴bn=n=n
,
令f(x)=x,则f′(x)=
+x
ln
,
令f′(x)=0,即1+xln=0,解得:x0≈4.95,
则f(x)在(0, x0)上单调递增,在(x0,+单调递减.
∴0<f(x)≤max{f(4),f(5),f(6)},
又∵b5=5=
,b4=4
=﹣
,b6=6
=﹣
,
∴M的最小值为.
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