Question

（本题满分12分）某商场预计2009年1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)（单位：件）与x的关系近似地满足p(x)=x(x+1)(39-2x)，（x∈N^*，且x≤12）.该商品第x月的进货单价q(x)（单位：元）与x的近似关系是q(x)=150+2x.(x∈N^*，且x≤12).（1）写出今年第x月的需求量f(x)件与x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2009年第几月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？

Answer 1

(Ⅰ)f(x)=-3x²+40x(x∈N^*，且1≤x≤12).  (Ⅱ)  最大利润为3125元

（1）当x=1时，f(1)=p(1)=37，当2≤x≤12时，f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)---(x-1)x(41-2x) =-3x²+40x (x∈N^*，且2≤x≤12). 验证x=1符合f(x)=-3x²+40x(x∈N^*，且1≤x≤12). --------6分   
（2）该商场预计第x月销售该商品的月利润为
g(x)=(-3x²+40x)(185-150-2x)=6x³-185x²+1400x(x∈N^*，且1≤x≤12).       
g′(x)=18x²-370x+1400，令g′(x)=0，解得x=5，x=(舍去). ------8分  

当1≤x＜5时，g′(x) ＞0，当5＜x≤12时，g′(x) ＜0，∴当x=5时，g(x)_max=g(5)=3125（元）. 
综上，商场2009年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元.-------12分