题目内容
【题目】已知函数f（x）=2cos2x+2 
sinxcosx+a，且当x∈[0， 
]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 
，再将所得图象向右平移 
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0， ]上所有根之和．
【答案】
（1）解：化简可得f（x）=2cos2x+2 
sinxcosx+a
=cos2x+1+ sin2x+a=2sin（2x+ 
）+a+1，
∵x∈[0， 
]，
∴2x+ ∈[ ， 
]，
∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，
∴f（x）=2sin（2x+ ）+3，
由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得kπ﹣ 
≤x≤kπ+ ，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，（k∈Z）
（2）解：由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣ ）+3，
由g（x）=4可得sin（4x﹣ ）= 
，
∴4x﹣ =2kπ+ 或4x﹣ =2kπ+ 
，
解得x= 
+ 
或x= + 
，（k∈Z），
∵x∈[0， ]，
∴x= 或x= ，
∴所有根之和为 + =
【解析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣ ）+3，可得sin（4x﹣ ）= ，解方程可得x= 或x= ，相加即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：
，以及对正弦函数的单调性的理解，了解正弦函数的单调性：在
上是增函数；在
上是减函数．
