Question

3．已知f（x）=-x²+6x+8，g（x）=f（6+2x-x²），求：函数g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 令t=6+2x-x²，根据复合函数单调性之间的关系进行判断即可．

解答 解：f（x）=-x²+6x+8=-（x-3）²+17，则函数f（x）的增区间为（-∞，3]，减区间为[3，+∞），
设t=6+2x-x²，则g（x）=f（t），
由t=6+2x-x²=3得x²-2x-3=0，即x=3或x=-1，
若x≤-1时，函数t=6+2x-x²，为增函数，且t≤3，此时函数f（t）为增函数，根据复合函数单调性之间的关系知此时函数g（x）为增函数，
若-1≤x≤1时，函数t=6+2x-x²，为增函数，且t≥3，此时函数f（t）为减函数，根据复合函数单调性之间的关系知此时函数g（x）为减函数，
若1≤x≤3时，函数t=6+2x-x²，为减函数，且t≥3，此时函数f（t）为减函数，根据复合函数单调性之间的关系知此时函数g（x）为增函数，
若x≥3时，函数t=6+2x-x²，为减函数，且t≤3，此时函数f（t）为增函数，根据复合函数单调性之间的关系知此时函数g（x）为减函数，
综上函数g（x）的递增区间为（-∞，-1]和[1，3]，
递减求解为[-1，1]和[3，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用换元法，结合一元二次函数的单调性，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．