Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．点E是线段BD的中点，点F是线段PD上的动点．
（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：CE⊥BF；
（Ⅲ）若AB=2，PD=3，当三棱锥P-BCF的体积等于$\frac{4}{3}$时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明EF∥PB，利用线面平行的判定定理，证明：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）证明CE⊥平面PBD，即可证明：CE⊥BF；
（Ⅲ）设PF=x．由AB=2得BD=2$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，所以V_P-BCF=V_C-BPF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PF×BD×CE$=$\frac{1}{6}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}x$=$\frac{2}{3}x$，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：在△PDB中，因为点E是BD中点，点F是PD中点，
所以EF∥PB．
又因为EF?平面PBC，PB?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，且CE?平面ABCD，
所以PD⊥CE．
又因为底面ABCD是正方形，且点E是BD的中点，
所以CE⊥BD．
因为BD∩PD=D，所以CE⊥平面PBD，
而BF?平面PCD，所以CE⊥BF． …（9分）
（Ⅲ）解：点F为边PD上靠近D点的三等分点．
说明如下：
由（Ⅱ）可知，CE⊥平面PBF．
又因为PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD．
设PF=x． 由AB=2得BD=2$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
所以V_P-BCF=V_C-BPF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PF×BD×CE$=$\frac{1}{6}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}x$=$\frac{2}{3}x$．
由已知$\frac{2}{3}x$=$\frac{4}{3}$，所以x=2．
因为PD=3，所以点F为边PD上靠近D点的三等分点．…（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查体积的计算，考查逻辑推理能力．