题目内容
20．已知x为常数，求数列x，2x2，3x3，…，nxn，的前n项和Sn．（提示：参照等比数列求和公式的推导过程原理来求）分析 当x=0时，Sn=0；当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；当x≠0且x≠1时，由错位相减法可得．
解答 解：当x=0时，Sn=0；
当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
当x≠0且x≠1时，Sn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，①
两边同乘以x可得xSn=x2+2x3+3x4+…+（n-1）xn+nxn+1，②
①-②可得（1-x）Sn=x+x2+x3+x4+…+xn-nxn+1=$\frac{x（1-{x}^{n}）}{1-x}$-nxn+1，
∴Sn=$\frac{x-{x}^{n+1}-n{x}^{n+1}（1-x）}{（1-x）^{2}}$
点评 本题考查错位相减法求和，涉及分类讨论的思想，属中档题．
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