题目内容

9.在x轴上有一定点A(a,0)及一异于点A的动点A′,在y轴上有一定点B(0,b)及一异于点B的动点B′(ab≠0),且A′B′∥AB.求证:直线A′B与AB′的交点在一条确定的直线上.

分析 通过直线平行转化为向量共线,求出直线AB′,直线A′B的方程,消去参数k,可得两条直线交点的轨迹方程,判断即可.

解答 证明:∵A(a,0)、B(0,b);∴$\overrightarrow{AB}$=(-a,b)
∵AB∥A′B′;∴$\overrightarrow{A′B′}$=(-ka,kb)(k≠1)
∴A′(ka,0)、B(0,kb)
则直线AB′:$\frac{x}{ka}$+$\frac{y}{b}$=1…①
直线A′B:$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{kb}$=1…②
联立①②得:-$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=0;即y=$\frac{b}{a}$x,
即直线A′B与直线AB′的交点在一条确定的直线y=$\frac{b}{a}$ x.

点评 本题考查轨迹方程的求法,直线方程的应用,考查计算能力以及转化思想的应用.

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