Question

5．如图，在△ABC中，BC边上的中线为AD．
（1）若AD=BD=2，AB=3，求ABC的面积；
（2）若∠ABC=30°，∠ACB=45°，求tan∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）在三角形ABD中，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入求出cosB的值，进而求出sinB的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可；
（2）设∠BAD=α，则∠CAD=105°-α，在三角形ABD中，利用正弦定理表示出BD，在三角形ACD中，利用正弦定理表示出CD，由BD=CD，求出tanα的值，即为tan∠BAD的值．

解答 解：（1）在△ABD中，AD=DB=2，AB=3，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{2}^{2}{+3}^{2}-{2}^{2}}{2×2×3}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$；
（2）设∠BAD=α，则∠CAD=105°-α，
在△ABD中，由正弦定理可得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{sin30°}{sinα}$，
又在△ACD中，由正弦定理可得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{sin45°}{sin（105°-α）}$，
∵BD=CD，∴$\frac{sin30°}{sinα}$=$\frac{sin45°}{sin（105°-α）}$，
即$\frac{1}{2}$sin（105°-α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα，
整理得：sin105°cosα-cos105°sinα=$\sqrt{2}$sinα，即sin105°cosα=（$\sqrt{2}$+cos105°）sinα，
解得：tanα=$\frac{4+3\sqrt{3}}{11}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．