题目内容

17.函数y=|x+1|+|x-2|的最小值为M;
(Ⅰ)求实数M的值;
(Ⅱ)若不等式$\sqrt{a-x}+\sqrt{4+2x}$≤M,(其中a>0)恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)由条件利用绝对值三角不等式求得y=|x+1|+|x-2|的最小值M.
(Ⅱ)由条件利用柯西不等式,求得$\sqrt{a-x}+\sqrt{4+2x}$的最大值,再根据此最大值小于或等于M求得实数a的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)∵|x+1|+|x-2|≥=|(x+1)-(x-2)|=3,等号成立当且仅当 (x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时,
∴函数y的最小值M等于3.
(Ⅱ)因为${(\sqrt{a-x}+\sqrt{2}•\sqrt{2+x})^2}$≤$[{1^2}+{(\sqrt{2})^2}][a-x+2+x]=3(a+2)$,
当且仅当$\frac{1}{{\sqrt{a-x}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2+x}}}$时,取“=”号,即当$x=\frac{2a-2}{3}∈[-2,a]$时,$\sqrt{a-x}+\sqrt{4+2x}$取得最大值为$\sqrt{3(a+2)}$.
∴要使不等式$\sqrt{a-x}+\sqrt{4+2x}$≤M,只需$\sqrt{3(a+2)}≤3$,解得0<a≤1.

点评 本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用,属于中档题.

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