题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,若
对任意的
恒成立,求实数
的值;
(3)求证:.
【答案】(1)时,
的单调递增区间是
,
时,
的单调递减区间是
,单调递增区间是
;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)先求导函数数,利用,即可求函数
的单调增区间,
即可求函数
的单调减区间;(2)若
对任意的
恒成立,
对
恒成立, 即可求实数
的值;(3)要证原不等式成立,只需证:
,即证:
,结合(2)利用裂项相消法求和,根据放缩法可证.
试题解析:解:(1),∴
时,
,
在
上单调递增:
时,
时,
单调递减,
时,
单调递增.
(2)由(1),时,
,∴
,即
,
记.
,∴
在
上增,在
上递减,∴
,故
,得
.
(3)时,
,
时,
,
时,
.
由(2)可知,即
,则
时,
,故
,
即原不等式成立.
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