Question

6．已知函数f（x）=x|x-1|．
（Ⅰ）在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象，并写出函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）与y=a公共点的个数．

Answer 1

分析 （1）当x≥1时，f（x）=x²-x，当x＜1时，f（x）=x-x²，分段作出函数图象，根据图象写出单调区间；
（2）结合图象得出a的取值范围与交点个数的关系．

解答 解：（Ⅰ）作出函数图象如图：
函数的单调递增区间是$（-∞，\frac{1}{2}），（1，+∞）$，
单调递减区间是$（\frac{1}{2}，1）$；
（Ⅱ）当$a＜0或a＞\frac{1}{4}$时，函数y=f（x）与x轴有一个公共点；
当$a=0或a=\frac{1}{4}$时，函数y=f（x）与x轴有两个公共点；
当$0＜a＜\frac{1}{4}$时，函数y=f（x）与x轴有三个公共点．

点评 本题考查了分段函数的图象，单调区间和交点个数问题，数形结合是重要解题方法．