Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+3lnx+m有且只有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（$\frac{7}{2}$，$\frac{15}{2}$-3ln3）．

Answer 1

分析 求导f′（x）=x-4+$\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x+3}{x}$=$\frac{（x-1）（x-3）}{x}$，从而求函数的单调性及极值，从而可得f（1）=$\frac{1}{2}$-4+m=m-$\frac{7}{2}$＞0且f（3）=$\frac{9}{2}$-12+3ln3+m=m+3ln3-$\frac{15}{2}$＜0，从而解得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+3lnx+m，
∴f′（x）=x-4+$\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x+3}{x}$=$\frac{（x-1）（x-3）}{x}$，
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
f（1）=$\frac{1}{2}$-4+m=m-$\frac{7}{2}$，f（3）=$\frac{9}{2}$-12+3ln3+m=m+3ln3-$\frac{15}{2}$，
∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+3lnx+m有且只有三个不同的零点，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$-4+m=m-$\frac{7}{2}$＞0且f（3）=$\frac{9}{2}$-12+3ln3+m=m+3ln3-$\frac{15}{2}$＜0，
∴$\frac{7}{2}$＜m＜$\frac{15}{2}$-3ln3；
故答案为：（$\frac{7}{2}$，$\frac{15}{2}$-3ln3）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用．