题目内容

13.函数f(x)=log3$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$的定义域为(-∞,+∞),值域为[0,2],求a,b的值.

分析 利用对数函数的有意义得出$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{△=64-8ab<0}\end{array}\right.$,根据对数函数的单调性得出1≤$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$≤9,利用y=$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$,转化为判别式法求解值域问题,
利用方程有根得出△=64-4(a-y)(b-y)≥0成立,即(a-y)(b-y)≤16,可知1和9为方程(a-y)(b-y)=16两个根,代入方程求解即可得出a,b的值.

解答 解:函数f(x)=log3$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$有意义得出;$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$>0,恒成立,即ax2+8x+b>0,
根据二次函数得出:$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{△=64-8ab<0}\end{array}\right.$
∵值域为[0,2],
∴1≤$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$≤9,
y=$\frac{{ax}^{2}+8x+b}{{x}^{2}+1}$,化简得出:(a-y)x2+8x+b-y=0
△=64-4(a-y)(b-y)≥0,
即(a-y)(b-y)≤16,
可知1和9为方程(a-y)(b-y)=16两个根,
即$\left\{\begin{array}{l}{(a-1)(b-1)=16}\\{(a-9)(b-9)=16}\end{array}\right.$,
∴a=5,b=5

点评 本题考查了函数的性质,方程,不等式等问题的综合运用,属于难度较大的题目,关键是理解,灵活转化变形.

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