Question

4．已知数列{a_n}通项公式为a_n=$\frac{2n}{{3}^{n}}$，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 通过a_n=$\frac{2n}{{3}^{n}}$可知S_n=2（1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{3}^{n}}$）、$\frac{1}{3}$S_n=2[1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$]，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{2n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=2（1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴$\frac{1}{3}$S_n=2[1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$]，
两式相减得：$\frac{2}{3}$S_n=2[$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$]，
∴S_n=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{3}{2}$-（n+$\frac{3}{2}$）•$\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的前n项和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．