题目内容
14.设函数y=ln(-x2-2x+8)的定义域为A,函数y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域为B,不等式ax2+(4a-$\frac{1}{a}$)x-$\frac{4}{a}$≤0(a≠0且a∈R)的解集为C;(1)求A∩B;
(2)若C⊆∁RA,求a的取值范围.
分析 (1)由-x2-2x+8>0,利用一元二次不等式的解法可得A;由y=x+$\frac{1}{x}$-1,对x分类讨论,利用基本不等式的性质即可得出B,再利用交集的运算性质即可得出.
(2)∁RA={x|x≤-4或x≥2},ax2+(4a-$\frac{1}{a}$)x-$\frac{4}{a}$≤0(a≠0且a∈R),化为$(ax-\frac{1}{a})(x+4)≤0$,对a分类讨论,利用一元二次不等式的解法及其集合的关系即可得出.
解答 解:(1)由-x2-2x+8>0,解得A={x|-4<x<2};
由y=x+$\frac{1}{x}$-1,当x>0时,y≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$-1=1,当且仅当x=1时取等号;
同理当x<0时,x≤-3.
∴函数y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域B={x|x≤-3或x≥1}.∴A∩B={x|-4<x≤-3,或1≤x<2}.
(2)∁RA={x|x≤-4或x≥2},∵ax2+(4a-$\frac{1}{a}$)x-$\frac{4}{a}$≤0(a≠0且a∈R),
∴$(ax-\frac{1}{a})(x+4)≤0$,①当a>0时,由$(x-\frac{1}{{a}^{2}})(x+4)$≤0,解得C=$\{x|-4≤x≤\frac{1}{{a}^{2}}\}$,不满足C⊆∁RA,舍去;
②当a<0时,由$(x-\frac{1}{{a}^{2}})(x+4)$≥0,解得C=$\{x|x≤-4或x≥\frac{1}{{a}^{2}}\}$,
∵C⊆∁RA,∴$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2,解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a<0,
∴a的取值范围是$[-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$.
点评 本题考查了基本不等式的性质、交集的运算性质、分类讨论、一元二次不等式的解法、集合的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | $\frac{1}{2}$ |