Question

2．已知二次函数f（x）=ax²-（3a-b）x+c，其中a＞0，f（1）=-a，若函数y=f（x）与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁∈（-1，$\frac{1}{2}$），x₂∉（-1，$\frac{1}{2}$）；
（1）求证：-$\frac{1}{2}$＜$\frac{b}{a}$＜$\frac{5}{2}$；
（2）若函数y=f（x）的顶点为C，当|AB|取得最小值时，△ABC为等腰直角三角形，求此时的二次函数y=f（x）的解析式．
（3）当x∈[0，1]时，函数y=f（x）的最小值为-$\frac{5}{8}$b，求$\frac{b}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）代入x=1，求得c=a-b，再由f（-1）＞0，f（$\frac{1}{2}$）＜0，解不等式即可得证；
（2）运用韦达定理和弦长公式，配方求得最小值2，进而得到a=b，c=0，再由△ABC为等腰直角三角形，求得C（1，-1），即可得到f（x）的解析式；
（3）由于f（x）的图象的开口向上，则f（x）在[0，1]的最小值，可能为顶点或两端点．分别求f（0）=-$\frac{5}{8}$b，或f（1）=-$\frac{5}{8}$b，或f（$\frac{3a-b}{2a}$）=-$\frac{5}{8}$b，再检验对称轴和区间[0，1]的关系，即可判断．

解答 （1）证明：f（1）=-a，可得a-（3a-b）+c=-a，
化简得c=a-b，由x₁∈（-1，$\frac{1}{2}$），可得f（-1）＞0，f（$\frac{1}{2}$）＜0，
即有a+（3a-b）+c＞0且$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$（3a-b）+c＜0，
即5a-2b＞0，且-a-2b＜0，
解得-$\frac{1}{2}$＜$\frac{b}{a}$＜$\frac{5}{2}$；
（2）解：由f（x）=0的两根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=$\frac{3a-b}{a}$，x₁x₂=$\frac{a-b}{a}$，
则|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{3a-b}{a}）^{2}-\frac{4a（a-b）}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{（\frac{b}{a}-1）^{2}+4}$，
当$\frac{b}{a}$=1∈[0，1]时，|AB|取得最小值，且为2，
即有f（x）=ax²-2ax+c=ax（x-2），即有A（0，0），B（2，0），
则C的横坐标为1，由△ABC为等腰直角三角形，则C（1，-1），
则有-1=a•（1-2），解得a=1，
故f（x）=x²-2x；
（3）解：由于f（x）的图象的开口向上，则f（x）在[0，1]的最小值，可能为顶点处或两端点处．
若f（x）的最小值为f（0）=-$\frac{5}{8}$b，即为c=-$\frac{5}{8}$b=a-b，
解得$\frac{b}{a}$=$\frac{8}{3}$，则f（x）的对称轴为x=$\frac{3a-b}{2a}$=$\frac{1}{6}$∈[0，1]，
则区间[0，1]不为增区间，舍去；
若f（x）的最小值为f（1）=-$\frac{5}{8}$b，即为a-3a+b+c=-$\frac{5}{8}$b，代入c=a-b，
解得$\frac{b}{a}$=$\frac{8}{5}$，则f（x）的对称轴为x=$\frac{3a-b}{2a}$=$\frac{7}{10}$∈[0，1]，
则区间[0，1]不为减区间，舍去；
若f（x）的最小值为f（$\frac{3a-b}{2a}$）=-$\frac{5}{8}$b，即为$\frac{4ac-（3a-b）^{2}}{4a}$=-$\frac{5}{8}$b，代入c=a-b，
解得$\frac{b}{a}$=2或$\frac{5}{2}$，则f（x）的对称轴为x=$\frac{3a-b}{2a}$=$\frac{1}{2}$∈[0，1]，或$\frac{1}{4}$∈[0，1]，
故成立．
综上可得$\frac{b}{a}$=2或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法和最值的求法，主要考查二次方程的韦达定理和单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，注意求最值时，讨论最值取得的可能之处，是简化解题的策略．