题目内容
17．若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且S11=$\frac{22}{3}$π，{bn}为等比数列，b5•b7=$\frac{π^2}{4}$，则tan（a6-b6）为（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | ±$\sqrt{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | ±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
分析 运用等差数列的求和公式和等差中项，可得a6=$\frac{2π}{3}$，由等比数列的性质可得b6=±$\frac{π}{2}$，再由特殊角的三角函数，即可得到结论．
解答 解：由{an}为等差数列，S11=$\frac{22}{3}$π，
则$\frac{1}{2}$（a1+a11）×11=$\frac{22π}{3}$，
即为11a6=$\frac{22π}{3}$，a6=$\frac{2π}{3}$，
又{bn}为等比数列，b5•b7=$\frac{π^2}{4}$，
即有b62=$\frac{{π}^{2}}{4}$，
即b6=±$\frac{π}{2}$，
则tan（a6-b6）=tan（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{2}$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
或tan（a6-b6）=tan（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{2}$）=tan$\frac{7π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．
点评 本题考查等差数列和等比数列的性质和求和公式，考查三角函数的求值，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（-$\sqrt{3}$，0），F2（$\sqrt{3}$，0），且经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P．
2．
已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a1＞b1＞0）和双曲线C2：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a2＞0，b2＞0）有相同的交点F1，F2，且椭圆C1与双曲线C2在第一象限的交点为P，若2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$2（O为坐标原点），则双曲线C2的离心率的取值范围是（ ）
已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a1＞b1＞0）和双曲线C2：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a2＞0，b2＞0）有相同的交点F1，F2，且椭圆C1与双曲线C2在第一象限的交点为P，若2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$2（O为坐标原点），则双曲线C2的离心率的取值范围是（ ）| A． | （$\sqrt{2}$，+∞） | B． | （2，+∞） | C． | （$\sqrt{3}$，+∞） | D． | （3，+∞） |