题目内容
【题目】已知函数,
,
(其中
是自然对数的底数).
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求实数
的值;
(2)记函数,其中
,若函数
在
内存在两个极值点,求实数
的取值范围;
(3)若对任意,
,且
,均有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
.
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得,解得实数
的值;(2)先求导数
,再根据存在两个极值点条件可得实数
的取值范围;(3)设
,先根据函数单调性去掉绝对值
,再移项构造函数:
,
,最后根据导数研究新函数单调性,由单调性转化不等式恒成立条件,解得实数
的取值范围.
试题解析:(1)因为,所以
,
因为在点
处的切线与直线
垂直,
所以,解得
.
(2)因为,
所以,
因为,所以当
或
时,
;当
时,
,
所以在区间
和
单调递增;在
单调递减,
即当时,
取极大值,当
时,
取极小值,
因为函数在
内存在两个极值点,所以
.
(3)因为函数在
上单调递增,所以
,
所以对任意的
,
,且
恒成立,等价于
对任意的
,
,且
恒成立,等价于
对任意的
,
,且
恒成立,
即对任意
,
,且
恒成立,
所以在
上是单调递增函数,
在
上是单调递减函数,
由在
上恒成立,
得在
恒成立,即
在
恒成立,
而在
上为单调递增函数,且在
上取得最小值1,
所以,
由在
上恒成立,
得在
上恒成立,即
在
上恒成立,
令则
,令
,得
,
因为在
上递增,在
上单调递减,
所以在
上取得最大值
,即
,
所以实数的取值范围为
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