Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，焦距长为2，左准线为： ．

（1）求椭圆的方程及其离心率；

（2）若过点的直线交椭圆于， 两点，且为线段的中点，求直线的方程；

（3）过椭圆右准线上任一点引圆： 的两条切线，切点分别为， ．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）（3）.

【解析】试题分析：（1）根据条件可得关于a,b,c方程组，解得， ，即得椭圆的方程及其离心率；（2）利用点差法得中点坐标与弦斜率关系式，解得斜率，根据点斜式得直线的方程；（3）先根据两圆：以为直径的圆与圆方程相减得切点弦方程，再根据方程恒等得定点

试题解析：（1）设椭圆方程为，则，所以，

又其准线为，所以，则，

所以椭圆方程为，其离心率为．

（2）设点和点坐标分别为， ，因为点和点都在椭圆上，

所以两式相减得，

又点为线段的中点，所以， ，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即．

（3）直线恒过定点．　

因为椭圆的右准线方程为，所以设点坐标为，圆心坐标为，

因为直线， 是圆的两条切线，所以切点， 在以为直径的圆上.

所以该圆方程为，

两圆方程相减，得直线的方程，

即，由得

所以直线必过定点.