Question

20．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若△PMN的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）设直线PA的方程为：y-1=k（x-2），则直线PB的方程为：y-1=-k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分别与椭圆方程联立可得x₁=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$，x₂=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$．可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．设直线AB的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+t，可得：|MN|，点P到直线AB的距离d．由于S_△PMN=$\frac{1}{2}d|MN|$．直线BA的方程与椭圆方程联立，令△＞0，解得t取值范围．即可得出．

解答 解：（I）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=2，c²=6．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（II）设直线PA的方程为：y-1=k（x-2），则直线PB的方程为：y-1=-k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1-2k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²+（8k-16k²）x+16k²-16k-4=0．
△＞0，
∴2+x₁=$\frac{16{k}^{2}-8k}{1+4{k}^{2}}$，
可得x₁=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得：x₂=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$．
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
设直线AB的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+t，
则M（-2t，0），N（0，t），可得|MN|=$\sqrt{4{t}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{5}|t|$
点P到直线AB的距离d=$\frac{2|t|}{\sqrt{5}}$．
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}d|MN|$=t²．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
化为x²+2tx+2t²-4=0，
△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4．
∴S_△PMN∈（0，4）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线的方程、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．